신기한 연구소

2탄 정리

거듭제곱 : 같은 수를 여러 번 곱하는 경우 곱하는 수를 밑, 몇 번 곱할지는 지수로 표현한다.

소인수 : 1보다 큰 자연수의 약수 중 소수인 것들.

소인수분해 : 1보다 큰 자연수를 소인수로 분해해서 거듭제곱을 이용해 표현하는 것.

소인수분해에 대해 이해는 되었나요?

그럼 소인수분해를 이용해 약수를 구하는 방법을 알아봅니다.

소인수 분해를 이용해서 45의 약수를 구하는 방법.

45를 소인수분해하면

5로 끝나니깐 5로 나누고 9가 남죠.

9는 3으로 나누면 3

그럼 45는 3X3X5가 됩니다.

32의 약수는

5의 약수는

1, 5

그럼 약수끼리 하나씩 골라 곱해주면

1X1, 1X3, 1X9, 5X1, 5X3, 5X9가 되고 값은 1, 3, 9, 5, 15, 45가 된다.

바로 이 수들이 45의 약수가 된다.

문제풀기

100의 약수를 소인수분해를 이용해서 구하시오.

우선 100을 소인수분해하면

짝수이므로 2로 나누면 50,

짝수이므로 2로 나누면 25,

5로 끝나므로 5로 나누면 5

2X2X5X5 가 된다.

초등학교 때 배운 최대공약수를 알아봅니다.

우리가 소인수분해 1탄에서 배운 약수 먼저 기억해 보면

[약수는 맺을 약, 나눗셈하다 약이라는 한자를 사용하는데 어떤 자연수를 나눌 수 있는 수라는 뜻이지. 그 말은 나눌 수 있다는 건 나머지가 없다는 거야. 나머지가 0인거지] 라고 했지요.

그럼 공약수는 두 수 이상이 가지고 있는 약수 중 서로 같은 약수를 말하는 걸로 공통된 약수라는 의미야.

예를 들면 10과 20의 공약수는 먼저 10을 나머지가 없게 딱 나눌 수 있는 약수는 1, 2, 5, 10 이고 20을 나머지가 없게 딱 나눌 수 있는 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20 이다. 그럼 이 약수 중 공통된 1, 2, 5, 10이 된다. 이 약수를 공약수라고 한다. 그럼 최대공약수가 어떤 수인지 알겠지요? 공약수 중 가장 최대로 큰 약수가 최대공약수로 바로 10이 됩니다.

그럼 2단원 최대공약수와 최소공배수에서 처음 등장하는 서로소에 대해 알아봅니다. 서로소는 최대공약수랑 관계가 있어서 먼저 설명을 한거에요

먼저 두 수 3과 5의 최대공약수를 알아봅니다. 3의 공약수 1, 3이고 5는 1, 5 입니다. 그럼 두 수의 약수 중 공약수는 1밖에 없네요. 그럼 최대공약수도 1이 되겠네요. 이처럼 최대공약수가 1인 두 자연수를 서로소라고 합니다. 이해되었나요? 어려운 건 없어요.

문제풀기

두 수가 서로소인 것은?

1)10, 15 2) 14, 21 3) 21, 49 4) 25, 36

문제풀기

소인수분해를 이용하여 다음 두 수의 최대공약수 찾기.

정답) 1, 5, 25 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 이므로 4번이 답.

그럼 소인수분해를 이용해서 최대공약수를 구하는 방법을 알아봅니다.

24와 60이라는 두 수의 최대공약수를 소인수분해를 이용해서 구한다면 소인수는 약수 중 소수인 얘들을 소인수라고 했어요.

우선 24의 약수를 보면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24입니다. 여기서 소수는 2, 3 입니다.

나머지 4(2X2), 6(2X3), 8(2X2X2), 12(2X2X3), 24(2X2X2X3) 도 소수 2와 3으로 분해되고 약수로 갖습니다. 즉, 24는 2X2X2X3 으로 소인수분해가 됩니다.

60도 마찬가지로 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60이 약수이고 이 약수들은 2,3,5의 소인수로 구성됩니다. 60을 소인수분해하면 2X2X3X5 이 됩니다.

이때 24의 소인수분해 된 2X2X2X3 과 60의 소인수분해 된 2X2X3X5에서 공통된 숫자를 빼면 2X2X3이 됩니다. 즉, 2는 2개가 공통되고 3은 1개가 공통됩니다. 나머지는 2한개 남고 5가 남았네요.

여기서 보면 두 수의 소인수분해한 결과에서 같은 수 중 개수가 같으면 그대로 다르면 작은 것 만큼 빼서 곱해주면 최대공약수가 됩니다.

여기서 확인할 점이 있는데 24와 60의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12는 모두 최대공약수 12의 약수죠? 이처럼 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수와 같습니다.

문제풀기

소인수분해를 이용하여 다음 두 수의 최대공약수 찾기.

1)28, 70

답) 먼저 28을 소인수분해하면 짝수니깐 2로 나누고 14남고 또 짝수니깐 2로 나누고 7남아서 2X2X7이 됩니다.

다음 70은 짝수이므로 2로 나눠서 35, 5로 끝니니깐 5로 나눠서 7이 남아서 2X5X7 이 됩니다.

그럼 같은 수는 2와 7인데 28에서 2는 두 개, 70에서는 1개 있으므로 작은 쪽을 선택해서 2만 사용하고 7은 서로 한 개씩 있으므로 그대로 7 사용해서 2X7 이 최대공약수가 됩니다.

2X7 = 14

문제풀기

최대공약수를 이용 다음 두 수의 공약수 구하기

1) 30, 40

답) 먼저 소인수분해하기 30은 짝수로 2로 나누면 15, 5로 끝나서 5로 나누면 3이므로 2X3X5

40은 짝수로 2로 나누면 20, 짝수로 2로 나누면 10, 짝수로 2로 나누면 5이므로 2X2X2X5

공통된 약수는 2와 5이고 최대공약수는 10이 된다. 10의 공약수는 1, 2, 5, 10.

다음 시간에는 소인수분해를 이용한 최소공배수 구하기를 배워볼께요.