신기한 연구소

안녕하세요. 신기한 연구소입니다.

이번 포스팅은 수학에 대한 이야기입니다.

사실 영어도 어렵다고 포기하는 친구들이 많지만

수학 또한 많이 어려워합니다.

그래서 수학 공부를 잘할 수 있는 방법을 공유해봅니다.

물론 사람마다 생각이 다르고 차이가 있기에

이 방법이 정답은 아니더라도 해답이 될 수 있길 바랍니다.

학원을 다니지 않는 우리 아이들이 점점 어려워지는 수학을 하기 싫어하더군요.

그래서 왕년(?)에 수학 쫌 했던 제가 한 수 가르쳐줬답니다.

잘 따라 하면 성적이 잘 나오지만 그렇지 않으면 백약이 무효인 거 아시죠?

노력 없이 얻을 수 있는 성과는 없답니다.

그렇지만 노력한다고 다 되는건 아닙니다.

제대로 된 방식으로 노력을 해야 됩니다.

그럼 시작해봅니다.

툭 하면 어렵다, 모르겠다면서 공부를 하기 싫어하거나,

그래서 의욕을 잃은 친구들이 있는데요.

영포자, 수포자라면서 그냥 포기를 하는 경우가 종종 있더군요.

우리 집도 그런 상황이 발생했습니다.

중학교 시절에 수학 공부를 한다면서 문제집을 펴 놓고 한숨만 쉬더군요.

학원을 안 보내줘서 그렇다면서..

"너처럼 노력도 하지 않고 학원 타령만 하는 애들은

학원 가도 달라질게 없단다. 학원을 보내도 얼마 안돼서

학원이 이상하다, 선생님이 이상하다 등 변명만 할 테니깐"

그래서 어떻게 공부하는지 관찰했습니다.

역시 문제집을 꺼내 놓고 문제집의 요약본을 보고 문제를 바로 풀더군요.

그래서 다시 불러놓고 수학 공부를 잘할 수 있는 방법을 알려줬습니다.

1. 교과서

공부는 영어로 study라고 합니다.

그런데 study는 연구라는 의미로도 많이 사용됩니다.

즉, 문제집을 푸는 것은 공부가 아니고

공부한 것을 확인도 하고 다양한 경우를 접하는 연습 같은 겁니다.

공부는 교과서로 먼저 해야 합니다.

교과서에서 모든 것이 시작합니다.

교과서가 무엇인지 누가 만든 것인지 잘 생각해보세요.

먼저 교과서를 펼칩니다.

그리고 제목을 확인합니다. 무엇을 공부할지 알아야 하니까요.

학습목표를 정확하고 집중해서 읽고 무엇을 어떻게 공부할지 확인합니다.

이제 교과서를 읽습니다.

교과서를 읽으면 개념 정리가 되어있습니다.

모르는 용어는 사전을 찾아서 정확하게 이해합니다.

그리고 설명할 정도가 돼야 합니다.

유리수, 정수, 자연수 등을 공부하는데

그 용어에 대한 개념도 의미도 모르면서 문제를 푸는 경우가 많습니다.

"개념 정리는 내가 다른 친구에게 그 용어나 개념을 선생님처럼 설명할 수 있을 정도가 되야 합니다."

개념이 정리되면 교과서의 확인 문제를 풀면서 정확히 이해했는지 확인합니다.

학습목표에 맞게 문제를 풀면서 이해를 해야 합니다.

이 문제는 왜 만들어졌는가?

무엇을 설명하기 위해서 이 문제를 풀어야 하는가?

끊임없이 이 생각을 하면서 문제를 풀어봐야 합니다.

그렇게 최소 5번에서 10번을 반복합니다. 

한 번에 하지 말고 수학 공부는 시간에 목표한 횟수만큼 공부합니다.

이제 교과서의 문제만 봐도 답이 나올 정도가 되었을 겁니다.

2. 문제집

교과서로 개념을 정리하고 문제를 다 풀었다면

이제 문제집을 펼칩니다.

너무 많은 문제집을 살 필요는 없습니다.

먼저 맘에 드는 문제집 한 권을 선택합니다.

그리고 문제집의 요약본은 가볍게 읽고

교과서 문제를 풀었던 것처럼

문제를 읽으면서 

이 문제는 무엇을 요구하고 어떤 방식으로 풀어야 하는가?

풀어봅니다.

주의할 점은 절대 문제집에 직접 풀지 말고

따로 풀이 노트에 푸세요.

반복해서 풀어야 하기에 문제집에 직접 풀고 답을 달면

다시 풀 때 효과가 별로 없거든요.

채점 후 틀린 문제가 있으면 별표를 합니다.

그리고 왜 틀렸는지 답안을 보고 교과서와 같이 다시 공부를 합니다.

그렇게 문제집 한 권을 10번 풀어봅니다.

이제 문제집의 문제만 봐도 답이 나올 정도가 되었을 겁니다.

3. 시험

이제 학교 시험이 남았습니다.

교과서 5~10회, 문제집 10회를 풀었기에

학교 시험은 실수만 하지 않는다면 다 맞을 수 있을 겁니다.

교과서나 문제집에서 기존에 틀려서 별표 한 문제들만 다시 풀어봅니다.

그러면서 수학에 자신감이 생기게 됩니다.

실수를 줄이기 위해서 반복 학습이 필요합니다.

4. 고등수학

그런데 문제가 생겼습니다.

교과서와 기본 문제집은 열심히 잘 풀었는데

고등학교에 가서 모의고사 또는 수능을 위한 문제를 만나니

다시 눈 앞이 캄캄해집니다.

중학교까지는 해당 단원의 원리에 대해 문제가 출제되기에

위 방식이 통할지 모르지만

고등수학은 복합적으로 출제됩니다.

그래서 중학교 수학 과정을 잘 마스터해야 기초가 잡힙니다.

중학교 과정 무시하고 고등학교 가서 수학 열심히 한다고 해서

성적이 잘 나오기 힘듭니다.

5. 복합적 1등급 문제 풀기

교과서와 문제집을 다 풀었지만 1등급 문제만 보면 앞이 캄캄해진다고 하네요.

그래서 방법을 알려줬습니다.

먼저 네가 배운 대로 풀어라~

그러면 어느 순간 막힙니다.

보통 이런 경우 짜증 내면서 못하겠다 어렵다 하면서 포기합니다.

막히면 바로 멈춥니다.

그리고 딱 5분 정도만 생각합니다.

혹시 방법이 생각날 수 있거든요.

그래도 안되면 거기서 멈춥니다.

그리고 수학 노트를 하나 준비합니다.

이제 답안을 펼치고 풀이를 확인합니다.

그냥 확인만 하면 안 되고 어디쯤 막혔는지를 확인합니다.

그리고 그다음 풀이를 보면서 내가 아는 부분인지

아니면 전혀 모르는 부분인지 확인합니다.

보통 교과서와 기본 문제집을 마스터했다면 전혀 모르는 부분은 없을 겁니다.

연결돼서 가는 과정을 해본 적이 없기에 못 푸는 경우가 다반사거든요.

복합적 문제이기에 공식 하나로 풀 수 없고

그 연결을 매끄럽게 잘해야 풀 수 있거든요.

모르는 부분은 다시 교과서를 통해 공부를 하고

연결 부분을 몰라서 못 풀었다면 그 부분을 유심히 봅니다.

그리고 수학 노트에 기록합니다.

이 문제는 어떤 공식들이 필요하고,

내가 왜 못 풀었는지 그 사유를 적습니다.

그리고 어떻게 하면 풀 수 있는지 자신을 기준으로 적어봅니다.

답안을 보고 본인이 막혔던 부분을 잘 살피고

그 과정을 다시 풀어봅니다.

이제 답안을 덮고 다시 풀어봅니다. (또 막히면 다시 반복합니다)

이 문제 하나를 풀기 위해 사실 1시간 이상이 걸릴 수도 있습니다.

하지만 이 과정을 포기한다면 절대 1등급 문제를 풀 수 없답니다.

이렇게 1등급 문제를 정리했다면

해당 노트를 수시로 보고

1등급 문제만 따로 시간을 내서 10회 정도 풀어봅니다.

그렇게 반복적으로 풀다 보면

복합적 문제(1등급 문제)에 대한 자신감도 생기고

해결법이 눈에 보이게 될 겁니다.

결론

위 방법을 통해서 우리 큰애는 자**토리 문제집의 1등급 문제를

모두 풀 수 있게 되었습니다.

그리고 실제 모의고사를 봤는데 기존에는 손도 못 대던 1등급 난이도 문제를

다 풀고 맞혔더군요.

아이도 신기해하고 기뻐하면서 이제 수학하기 싫다는 말 없이

꾸준히 문제를 잘 풀고 있답니다.

쓴소리

위 방법대로 하려면 본인의 의지도 중요하고

시간과 노력은 필수입니다.

특히 잘못된 방법으로 시간과 노력을 투자해서

맘고생만 하고 포기하는 경우가 많은데

아인슈타인이 했던 말이 있습니다.

'같은 일(방법)을 반복하면서 다른 결과를 바라는 건 미친 짓이다.'

내가 시간을 투자해서 노력해도 성적이 오르지 않는다면

방법이 잘못된 겁니다.

그럼 바꾸세요.

우리 아이도 수학이 엉망이어서

어떻게 공부하는지 확인했더니

시험 보기 전까지 시험 범위를 한 번도 다 풀어보지 않더군요.

당연 성적은 엉망이고

수학이 어렵다, 못하겠다 짜증만 내더군요.

어이가 없었답니다.

수학 시험범위를 1번도 안 풀어보고 시험을 보면 당연 바닥입니다.

그렇게 하면서 수학이 어렵다는 말을 하는 건 잘못된 표현입니다.

난 수학 공부를 안 했다가 맞습니다. 공부를 안 했으니 성적이 안 나오지요.

전체 범위를 1번도 다 안 푼 학생과

1번은 풀어본 학생

5번 풀어본 학생

10번 풀어본 학생

성적이 어떻게 나올까요?

안 해서 어려운 겁니다.

제대로 된 방식으로 여러 번 반복하면 못할 것이 없답니다.

우리 아이에게도 위 방법을 알려주고

실천하도록 했습니다.

다들 수학 포기하지 말고

열심히 해서 좋은 성적 나오길 바랍니다.

아래 하트(공감) 버튼을 눌러서 더 다양한 글을 쓸 수 있게 응원 부탁드립니다. 감사합니다.

2탄 정리

거듭제곱 : 같은 수를 여러 번 곱하는 경우 곱하는 수를 밑, 몇 번 곱할지는 지수로 표현한다.

소인수 : 1보다 큰 자연수의 약수 중 소수인 것들.

소인수분해 : 1보다 큰 자연수를 소인수로 분해해서 거듭제곱을 이용해 표현하는 것.

소인수분해에 대해 이해는 되었나요?

그럼 소인수분해를 이용해 약수를 구하는 방법을 알아봅니다.

소인수 분해를 이용해서 45의 약수를 구하는 방법.

45를 소인수분해하면

5로 끝나니깐 5로 나누고 9가 남죠.

9는 3으로 나누면 3

그럼 45는 3X3X5가 됩니다.

32의 약수는

5의 약수는

1, 5

그럼 약수끼리 하나씩 골라 곱해주면

1X1, 1X3, 1X9, 5X1, 5X3, 5X9가 되고 값은 1, 3, 9, 5, 15, 45가 된다.

바로 이 수들이 45의 약수가 된다.

문제풀기

100의 약수를 소인수분해를 이용해서 구하시오.

우선 100을 소인수분해하면

짝수이므로 2로 나누면 50,

짝수이므로 2로 나누면 25,

5로 끝나므로 5로 나누면 5

2X2X5X5 가 된다.

초등학교 때 배운 최대공약수를 알아봅니다.

우리가 소인수분해 1탄에서 배운 약수 먼저 기억해 보면

[약수는 맺을 약, 나눗셈하다 약이라는 한자를 사용하는데 어떤 자연수를 나눌 수 있는 수라는 뜻이지. 그 말은 나눌 수 있다는 건 나머지가 없다는 거야. 나머지가 0인거지] 라고 했지요.

그럼 공약수는 두 수 이상이 가지고 있는 약수 중 서로 같은 약수를 말하는 걸로 공통된 약수라는 의미야.

예를 들면 10과 20의 공약수는 먼저 10을 나머지가 없게 딱 나눌 수 있는 약수는 1, 2, 5, 10 이고 20을 나머지가 없게 딱 나눌 수 있는 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20 이다. 그럼 이 약수 중 공통된 1, 2, 5, 10이 된다. 이 약수를 공약수라고 한다. 그럼 최대공약수가 어떤 수인지 알겠지요? 공약수 중 가장 최대로 큰 약수가 최대공약수로 바로 10이 됩니다.

그럼 2단원 최대공약수와 최소공배수에서 처음 등장하는 서로소에 대해 알아봅니다. 서로소는 최대공약수랑 관계가 있어서 먼저 설명을 한거에요

먼저 두 수 3과 5의 최대공약수를 알아봅니다. 3의 공약수 1, 3이고 5는 1, 5 입니다. 그럼 두 수의 약수 중 공약수는 1밖에 없네요. 그럼 최대공약수도 1이 되겠네요. 이처럼 최대공약수가 1인 두 자연수를 서로소라고 합니다. 이해되었나요? 어려운 건 없어요.

문제풀기

두 수가 서로소인 것은?

1)10, 15 2) 14, 21 3) 21, 49 4) 25, 36

문제풀기

소인수분해를 이용하여 다음 두 수의 최대공약수 찾기.

정답) 1, 5, 25 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 이므로 4번이 답.

그럼 소인수분해를 이용해서 최대공약수를 구하는 방법을 알아봅니다.

24와 60이라는 두 수의 최대공약수를 소인수분해를 이용해서 구한다면 소인수는 약수 중 소수인 얘들을 소인수라고 했어요.

우선 24의 약수를 보면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24입니다. 여기서 소수는 2, 3 입니다.

나머지 4(2X2), 6(2X3), 8(2X2X2), 12(2X2X3), 24(2X2X2X3) 도 소수 2와 3으로 분해되고 약수로 갖습니다. 즉, 24는 2X2X2X3 으로 소인수분해가 됩니다.

60도 마찬가지로 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60이 약수이고 이 약수들은 2,3,5의 소인수로 구성됩니다. 60을 소인수분해하면 2X2X3X5 이 됩니다.

이때 24의 소인수분해 된 2X2X2X3 과 60의 소인수분해 된 2X2X3X5에서 공통된 숫자를 빼면 2X2X3이 됩니다. 즉, 2는 2개가 공통되고 3은 1개가 공통됩니다. 나머지는 2한개 남고 5가 남았네요.

여기서 보면 두 수의 소인수분해한 결과에서 같은 수 중 개수가 같으면 그대로 다르면 작은 것 만큼 빼서 곱해주면 최대공약수가 됩니다.

여기서 확인할 점이 있는데 24와 60의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12는 모두 최대공약수 12의 약수죠? 이처럼 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수와 같습니다.

문제풀기

소인수분해를 이용하여 다음 두 수의 최대공약수 찾기.

1)28, 70

답) 먼저 28을 소인수분해하면 짝수니깐 2로 나누고 14남고 또 짝수니깐 2로 나누고 7남아서 2X2X7이 됩니다.

다음 70은 짝수이므로 2로 나눠서 35, 5로 끝니니깐 5로 나눠서 7이 남아서 2X5X7 이 됩니다.

그럼 같은 수는 2와 7인데 28에서 2는 두 개, 70에서는 1개 있으므로 작은 쪽을 선택해서 2만 사용하고 7은 서로 한 개씩 있으므로 그대로 7 사용해서 2X7 이 최대공약수가 됩니다.

2X7 = 14

문제풀기

최대공약수를 이용 다음 두 수의 공약수 구하기

1) 30, 40

답) 먼저 소인수분해하기 30은 짝수로 2로 나누면 15, 5로 끝나서 5로 나누면 3이므로 2X3X5

40은 짝수로 2로 나누면 20, 짝수로 2로 나누면 10, 짝수로 2로 나누면 5이므로 2X2X2X5

공통된 약수는 2와 5이고 최대공약수는 10이 된다. 10의 공약수는 1, 2, 5, 10.

다음 시간에는 소인수분해를 이용한 최소공배수 구하기를 배워볼께요.