신기한 연구소

손실함수 분류 문제

손실 함수에서 분류 문제의 대표인 교차 엔트로피에 대해 알아본다.

이전 포스팅에서 회귀 문제에 대해 알아봤다.

과거의 정보를 활용해서 결과를 예측하는 방식이 회귀다.

과거 정보(입력값)에 따라 결과가 결정(종속적)된다.

2025.05.14 - [인공지능(AI)/딥러닝(DeepLearning)] - 쉽게 풀어 쓴 딥러닝 손실함수 1 : 회귀 문제에서 오차제곱합(SSE), 평균제곱오차(MSE) 코딩하기.

분류 문제

회귀가 정보를 입력받고 예측(주가, 집값 등)하는 문제라면,

분류는 고체나 액체 같은 종류, 개와 고양이 같은 문제다.

분류 문제에 사용하는 대표적인 손실 함수가 교차 엔트로피다. (cross entropy loss)

교차 엔트로피는 다양한 식을 가지고 있다.

예측한 값과 실제 값의 오차를 수치로 결과를 보여준다.

손실 함수는 결국 이 오차를 최소화하기 위해 사용되는 함수다.

이진 교차 엔트로피(Binary Cross Entropy, BCE)

둘 중 하나로 분류하는 경우 사용한다.

예를 들어,

합격과 불합격, 정상과 실패 등으로 시그모이드 활성화 함수를 사용하면 0과 1로 결과가 나오게 된다.

엄청 복잡한 식이 나타났다.

딥러닝 공부 중 이런 식 때문에 어려움을 겪을 수 있을 거라 생각한다.

분리해서 같이 하나씩 살펴보면 별거 아니다. 걱정은 이제 그만!

∑는 밑의 i=1부터 N까지 1씩 증가해서 옆의 식에 대입 후 합산한다는 SUM을 의미한다.

아래 예제를 보면 i는 1부터 3까지 순서대로 시그마 옆 i에 대입하고 더한다.

시그마는 주어진 범위의 값을 하나씩 넣고 그 모든 값을 SUM 한다.

이제 시그마 뒤의 식을 보자.

y는 정답(0 또는 1)이 들어온다.

y가 0이면 앞의 식은 0이 되고 뒤의 식은 살아남고,

y가 1이면 뒤의 식은 0이 되고 앞의 식은 살아남는다.  (0 × log() = 0 이므로)

log는 계산기 또는 파이썬 넘파이(numpy)에서 계산하면 된다.

만약 y에 1(정답)이 들어오면 0이 되고 log와 곱하면 0이 되고 식은 사라진다.

y가 0(오답) 일 때 log 식 내 꺽쇠 y값(0~1 사이값)으로 계산된다.

샘플 데이터로 계산해 보자.

정답값 y = [0, 1]

신경망 출력 y(꺽쇠) = [0.2, 0.8]

위 값을 대입해서 직접 풀어봤다.

손실 함수 교차 엔트로피 결과는 0.22314가 나왔다.

신경망 출력 y(꺽쇠) = [0.3, 0.7]라면?

1일 확률이 앞 식보다 0.1 작은 0.7로 설정했다.

신경망 결과 1일 확률이 더 낮게 나오면 식의 결과 값은 더 크게 나온다.

1일 확률이 0.8일 때 0.22314가 나왔는데 0.7로 낮아지면 0.35667이 나왔다.

즉, 정답일 확률이 높을수록 교차 엔트로피 식의 값은 작아진다.

이제 이 식을 파이썬으로 구현해서 딥러닝에서 활용해 보자.

import numpy as np

def cross_entropy_error(y, k):
    dt = 1e-8   # log(0)은 무한이다. 이를 방지하기 위해 필요
    return -np.sum(k * np.log(y + dt))


k = [0, 1]  #정답
y = [0.2, 0.8]  #신경망 결과

print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(k)))
#결과 : 0.2231435388142097

y = [0.3, 0.7]

print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(k)))
#결과 : 0.35667492965301817

값의 범위가 0~1인데 dt(1e-8)는 log(0)이 안되게 하기 위해 넣었다.

log(0)은 무한대로 계산 오류가 나기 때문이다.

파이썬 코드도 손으로 푼 결과와 같다.

정리

신경망 학습 중 손실함수에 대해 알아봤다.

딥러닝 개발자로 공부하다 보면 나타나는 복잡한 식으로 당황할 수 있다.

이 포스팅을 보고 계산에 도움이 되길 바란다.

인공지능 개발자를 위해~

끝.

다차원 배열(행렬)은 딥러닝에서 신경망 구현시 필수로 알아야 하는 부분이다.

배열(Array)이나 행렬은 프로그래밍 언어나 수학을 배울 때 들어봤을 것이다.

딥러닝에서 신경망에도 다차원 배열이 꼭 필요하다고 한다.

어렵지 않으니 기본 개념부터 하나씩 같이 살펴보자.

다차원 배열과 행렬

C나 자바 같은 프로그래밍 공부를 했다면 배열(Array)을 배웠을 것이다.

파이썬 딥러닝은 넘파이(Numpy)에서 배열(Array)을 지원한다.

숫자 1부터 5까지 같은 데이터타입(숫자)을 만든다.

2차원 배열은 어떻게 만들까?

1차원 배열과 달리 2차원 배열은 [1,2,3]과 [4,5,6]을 []로 한 번 더 구분했다.

딥러닝 신경망을 구현하려면 배열로 된 행렬의 연산이 필요하다.

위 1차원 2차원 배열을 행렬로 표시하면 아래와 같다.

2차원 배열부터 다차원 배열(행렬)이라 한다.

행렬은 뭘까? 행과 열을 의미한다.

가로로 보는 행이 2줄이다. 1 2와 3 4.

세로도 열이 2줄이다. 1 3과 2 4.

가로는 행 세로는 열이라고 한다.

그래서 행렬이다.

위 행렬은 행이 2개 열이 2개라 2 × 2 행렬이라고 부른다.

행렬 곱셈 하는 방법

딥러닝 신경망에서 다차원 배열(행렬)이 필요하다.

그러기 위해서 행렬의 곱셈을 알아야 한다.

그 이유는 뒤에 나온다.

우선 학교 다닐 때 배운 행렬의 곱에 대해 살펴보자.

2 × 2 행렬 두 개를 곱하는 식이다.

곱하는 방법은 아래와 같다.

1. 첫 번째 행렬의 1행과 두 번째 행렬의 1열을 곱한다.

2. 1 × 5 + 2 × 7 = 19로 1행 1열의 값이 된다.

3. 첫 번째 행렬의 1행과 두 번째 행렬의 2열을 곱한다.

4. 1 × 6 + 2 × 8 = 22로 1행 2열의 값이 된다.

5. 첫 번째 행렬의 2행과 두 번째 행렬의 1열을 곱한다.

6. 3 × 5 + 4 × 7 = 43으로 2행 1열의 값이 된다.

7. 첫 번째 행렬의 2행과 두 번째 행렬의 2열을 곱한다.

8. 3 × 6 + 4 × 8 = 50으로 2행 2열의 값이 된다.

행렬의 곱은 새로운 행렬을 만든다.

직접 계산을 해보자.

눈으로만 보면 실수할 확률이 높다.

행렬의 곱셈, 파이썬 넘파이 (Python, Numpy) 

이제 직접 행렬 곱셈을 코딩해 보자.

numpy를 import 해서 array를 사용해야 된다.

6번 라인을 보면 numpy 함수 dot을 사용하고 있다. (np.dot())

행렬곱을 계산해 주는 기능은 dot 함수로 할 수 있다.

행렬곱을 할 경우 주의할 점이 있다.

모든 행렬을 곱할 수 없다. 조건이 있다.

첫 번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행은 같은 숫자여야 한다.

2 × 2 행렬 곱하기 2 × 2 행렬인 경우 앞의 열 2와 뒤의 행 2가 같다.

만약 2 × 3 행렬 곱하기 3 × 4 행렬인 경우도 앞의 열 3과 뒤의 행 3이 같다.

2 × 2 행렬 곱하기 3 × 2 행렬인 경우 앞의 열 2와 뒤의 행 3이 다르다. 계산할 수 없다.

하나가 1차원 배열인 경우,

2 × 2 행렬 곱하기 2 배열은 첫 번째 2열과 두 번째 2가 같기에 가능하다.

2 배열 곱하기 3 × 2 행렬은 첫번째가 2이고 두 번째 행렬의 행은 3이라 다르다. 계산할 수 없다.

파이썬 코드로 확인해 보자.

결과는 다음과 같다.

6번 라인은 A1의 행렬로  (4, 3)

7번 라인은 A2의 행렬로 (3, 2)

A1의 열과 A2의 행이 3으로 같다. 그래서 오류 없이 결과가 나온다.

4번 라인을 보면 2 × 2 행렬이다.

6번과 7번 라인을 보면 (4, 3) (2, 2)가 되고 첫번째 열은 3 두 번째 행은 2 다르다.

위 코드를 실행하면 오류가 난다.

2 × 2 행렬 곱하기 2 배열도 코딩해 보자.

첫 번째 열 2와 두 번째 1차원 2 배열과 일치한다. 

잘 실행된다.

이 예제는 1차원 배열과 2차원 행렬의 곱이다. 

첫 번째 1차원 2와 두 번째 2차원 행인 2와 일치해서 잘 된다.

다차원 배열, 행렬과 신경망과의 관계

이전 포스팅에서 신경망의 구조와 퍼셉트론에 대해 알아봤다.

2025.03.21 - [인공지능(AI)/딥러닝(DeepLearning)] - [딥러닝]신경망과 활성화 함수(계단 함수, 시그모이드 함수, ReLU 함수) 계산 방법. 초보용 핵심 정리.

신경망은 입력층, 은닉층 그리고 출력층으로 구성되어 있다.

퍼셉트론을 보면 가중치(w)와 편향( 𝞱)을 활용해 계산 후 출력값을 만든다.

여기서, 다차원 배열(행렬)이 신경망에서 어떻게 활용되는지 궁금해진다.

먼저 신경망과 퍼셉트론의 예를 보자.

입력층, 은닉층, 출력층이 있는 신경망 구조의 예다.

입력값은 x₁, x₂로 1차원 배열로 보자. 

입력층이 가중치(w)와 곱하고 편향을 더하면 은닉층의 a₁, a₂ 값이 나온다.

이 식을 행렬의 곱으로 계산하면 된다.

처음 1차식 2 배열과 가중치 2차식 2 × 2 행렬을 곱한 뒤 편향 b를 더한다는 의미다.

이렇게 그림으로 그리면 입력층 x가 1, 2로 2개이고 가중치 시작 밑이 1과 2만 있어 2개라 계산이 가능하다는 의미다.

만약 가중치 밑 3이 존재한다면 구조 자체가 잘못된 것이라는 의미다.

은닉층 a 가 3개라도 가중치 시작 밑은 1과 2면 된다.

그림으로 간단하게 보자.

x₁의 선은 빨간색이다. x₁에서 출발했게이 w밑이 1로 시작하고 a1로 도착하면 w밑이 1로 끝난다. w₁₁   

x₂의 선은 파란색이다. 만약 a₂로 간다면 x₂에서 시작, a₂로 도착이기에 w₂₂가 된다.

x3가 없는데 x₃에서 출발 a₁에 도착하는 가중치 w₃₁을 초록색으로 표현했다.

?를 보면 x₃ 이 없다. 그래서 행렬 곱이 불가능하다는 의미다.

신경망, 활성화 함수 그리고 행렬곱

다차원 배열(행렬) 곱을 파이썬 넘파이(Python Numpy)로 코드를 작성해 보자.

실제와 유사하게 활성화 함수도 추가했다.

지금까지 공부한 부분을 복습하고 확인하는 과정이라 생각하자.

시작~

import numpy as np

# 활성화 함수 시그모이드
def sigmoid(x):
 return 1 / (1 + np.exp(-x))

# 입력값 x 2개 설정
x = np.array([1.0, 2.0])

# 가중치 w
w = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5]])

# 편향 b
b = np.array([0.1, 0.2])

# 계산해보자.
# 입력값 x와 가중치 w로  dot 함수로 행렬곱 계산 더하기 편향.
a = np.dot(x, w) + b

# 활성화 함수에 a 적용
z = sigmoid(a)

# 결과 출력
print(z)

# 결과 [0.64565631 0.83201839]

직접 코딩해 보자.

위 코드를 직접 복사해서 사용해도 된다. 마지막 라인에 결과도 추가했다.

친절하게 주석도 달았으니 자세히 살펴보면 이해될 것이다.

안되면 댓글에~

지금까지 딥러닝 신경망에서 중요한 역할을 하는 다차원 배열(행렬)의 곱셈에 대해 알아봤다.

이제 우리는 딥러닝 신경망에서 다차원 배열(행렬) 곱셈을 활용할 수 있게 되었다.

열공 열코딩~