신기한 연구소

1탄 정리

자연수는 1부터 1씩 증가하는 수.

정수는 가지런히 음의 자연수, 0, 양의 자연수 즉, 음의 정수. 0 양의 정수들의 모임 수

약수는 어떤 자연수를 나머지가 없게 나누어 떨어지게 할 수 있는 수.

소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수.

합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수만 쏙 뺀 얘들

1은 그냥 소수도 합성수도 아닌 수

그럼 거듭제곱은 무엇일까요? 용어를 풀어 보면 거듭이란 어떤 일을 되풀이 한다는 의미랍니다. 제곱은 같은 수를 두 번 곱하는 거랍니다. 세제곱은 같은 수를 세 번, 네제곱은 같은 수를 네 번 곱하는 거구요. 그럼 거듭제곱은 같은 수를 두 번 곱하는 일을 되풀이 한다로 이해하면 되겠어요.

같은 수를 여러 번 곱할 때는 이처럼 

로 표시하고 큰 수는 밑, 우측 위의 작은 수는 지수라고 불러요.

예를 들어

은 밑은 5이고 지수는 3이며 5를 3번 곱하라는 의미에요. 즉, 5X5X5 로 답은 125가 됩니다. 밑은 곱하는 수이고 지수는 몇 번 곱하라는 수에요.

문제. 거듭제곱으로 나타내시오

2X2X2X3X5X5X7X7X7X7 = ?

이제 소인수분해를 알아 봅니다. 12의 약수를 찾아 보세요. 약수는 어떤 자연수를 나눌 수 있는 수입니다. 즉, 12를 나눌 수 있는 수는 먼저, 1로 나눌 수 있지요 그 다음, 2, 3, 4, 6, 12 이렇게 6개의 약수가 나옵니다. 자 여기 약수 중 1과 자기 자신만으로 나눌 수 있는 소수를 찾아보세요. 1은 빼고 2는 소수고 3도 소수, 그런데 4, 6, 12는 1과 자기자신 외에 다른 수로도 나눌 수 있기 때문에 소수가 아닙니다. 그럼 12의 약수 중 소수는 2와 3만 있네요. 여기까지 이해 되세요? 안되면 천천히 다시 읽어 보세요.

방금 구한 약수 중 소수인 2, 3을 부르는 이름이 있어요. 얘들을 바로 소인수라고 불러요. 영어로 Prime factor(주된, 기본적은 요소의 수) 바탕이 되는 수입니다. 정의를 내리면 어떤 자연수의 약수 중 소수인 것들을 소인수라고 부릅니다.

분해는 어떤 뜻인지 알죠? 어떤 부분이 결합되어 있는 걸 낱낱으로 나누는 것을 분해라고 해요. 블록을 조립하고 분해하고 자동차를 조립하고 분해하고…

그럼 소인수분해가 어떤 의미인지 딱 나왔네요

참, 합성수는 소수의 곱으로만 나타낼 수 있어요.

어떤 자연수의 약수 중 소수인 것을 소인수라 하고 어떤 것을 낱낱이 나누는 것을 분해라고 하니 어떤 자연수를 소수들로 나타낸 것을 소인수분해라 할 거 같은데요.

예를 들어 볼까요?

56이라는 자연수를 소인수분해 해본다고 하면

우선 56은 짝수 이므로 2로 나눌 수 있어요. (어떤 짝수든 2로 나눌 수 있어요) 2를 떼어내면 28이 남고 또 2로 나누면 14가 남고 또 2로 나누면 7이 남아요. 7은 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있으므로 소수네요. 결과를 보면 56은 2X2X2X7과 같게 되고 2와 7은 소인수이므로 거듭제곱을 이용해서

이 됩니다. 지금 하는 과정이 소인수분해에요.

정의를 내리면 1보다 큰 자연수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타낸 것을 소인수분해라고 해요.

별거 없지요? 정말 쉬워요

문제풀기

다음 수를 소인수분해 해보세요

135

정답 : 135는 5로 끝나니 5로 나눌 수 있어. 그럼 27이 남네. 27은 3으로 나눌 수 있지. 그럼 9가 남고 9는 또 3으로 나눌 수 있네. 이제 3만 남았군, 3과 5의 곱으로만 가능하네. 이것을 거듭제곱을 이용해서 3이 3개, 5가 1개로

가 답이 되는군요.

2탄 정리

거듭제곱 : 같은 수를 여러 번 곱하는 경우 곱하는 수를 밑, 몇 번 곱할지는 지수로 표현한다.

소인수 : 1보다 큰 자연수의 약수 중 소수인 것들.

소인수분해 : 1보다 큰 자연수를 소인수로 분해해서 거듭제곱을 이용해 표현하는 것.

3탄은 소인수분해를 좀 더 살펴보고 다양한 문제를 풀어볼께요

기대되면 공감 부탁, 궁금한 건 댓글 주숑~★★

안녕 여러분~

우리 아이가 벌써 중학생 이네요 . 같이 공부하면서 정리한 내용인데 필요한 친구들은 같이 읽어보고 도움이 되었으면 합니다.

그럼 시작~

학습목표: 소인수분해가 뭐야?

소인수분해란?

그전에 알아야 할 내용들인데 한 번 쭉 읽어 보면 좋아요

1에서 1씩 증가하는 1,2,3,4,5,6…이런 애들이 자연수(natural number)라고 해요

# 0은 자연수가 아니지만 일부 학자는 자연수라고도 하는데, 하지만 우선 아니라 생각해요.

정수(integer)는 한자어로 가지런한 수란 의미인데, 바로 …,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… 이렇게 생겼어요. 정말 가지런하게 생겼네. 소수점 없이 자연수 스타일로 음의 부호(-)가 붙은 음의 정수 , 0, 자연수인 양의 정수를 다 합쳐서 정수라 해요. 그럼 자연수는 양의 정수네여. 이해 되죠?

약수는 맺을 약, 나눗셈하다 약이라는 한자를 사용하는데 어떤 자연수를 나눌 수 있는 수라는 뜻이지요. 그 말은 나눌 수 있다는 건 ★나머지가 없다는 거야. 나머지가 0인 거지.★

예를 들어 볼까요?

10 ÷ 3 = 몫 3 나머지 1

3으로 나눴으니 나눌 수 있는 거 아닌가?라고 생각하는 친구들. 나머지 1이 있기 때문에 3은 정확하게 10을 나눌 수 있는 수가 아니다. 그래서 무조건 나눈다고 그 수가 약수가 되는 건 아니다. OK?

10 ÷ 5 = 몫 2 나머지 0

나머지가 0으로 없기 때문에 5는 10을 딱 맞게 나눌 수 있는 수가 된다. 이렇게 나머지가 안 남게 딱 나눌 수 있는 5가 10의 약수가 되는 것이다. 그럼 2는? 1은? 10은? 얘네들도 10을 나누면 나머지가 0이 되므로 약수가 되는 거지요. 약수(나눌 수 있는 수)가 뭔 지 알겠지요?

그런데 2, 3, 5, 7, 11 등 이 자연수의 약수를 같이 확인해 보자.

2는 1과 2,

3은 1과 3,

5는 1과 5,

7은 1과 7,

11은 1과 11

이 약수가 되는데 공통점이 있지요? 모두 1과 자기 자신만이 약수가 되어 있어요.

7을 1과 자기 자신인 7 외에 다른 수로는 나눌 수 없지요? 이렇게 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수들을 부르는 이름이 있어요. 수학언어로 소수라고 해요.

아니 무슨 이름이 이렇게 많지? 하지만 수를 특정 그룹으로 나눠서 활용하기 위해선 이름을 만들어 줘야 구분할 수 있기 때문에 필요한 거에요. 처음 친구 사귈 때 이름이 잘 기억나지 않지만 자주 보고 친해지면 이름이 머리에 딱 자리잡는 거 처럼 수학 언어들도 자주 보고 어떤 뜻인지 이해하게 되면 머리에 쏙쏙 들어오게 되니깐 부담 갖지 말고 자주 만나보도록 해요.

그럼 1과 자기 자신만을 약수로 가진 수가 소수면 그 외에 더 많은 약수를 가진 친구들도 이름이 있겠지요? 바로 합성수라고 해요. 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 얘들이 합성수에요. 근데 여기 외로 운 친구가 있지요. 누굴까?

바로 1인데 1은 뭐지?

사실 1은 소수도 합성수도 아닌 그냥 1일 뿐이에요. 약수가 2개도 아니고 소수를 뺀 1보다 큰 자연수가 합성수이므로 1은 여기도 저기도 속하지 못하는 거지요.

그런데 소인수분해 공부한다면서 갑자기 얘네들 얘기는 왜 하나고? 다 피가 되고 살이 되니깐 꼼꼼히 잘 정리해 보길 바래요. 우리집 중딩은 이 부분을 정확히 모르고 소인수분해 문제만 신나게 풀기만 하더군요. 개념 없이 문제만 풀다 보면 나중에 수포자가 될 수도 있어요. 그럼 안되겠지요?

문제풀기

1. 다음 수를 소수와 합성수로 구분하기

11, 21, 1, 30, 31

정답 : 소수 (11, 31), 합성수 (21,30)

1탄 정리

자연수는 1부터 1씩 증가하는 수.

정수는 가지런히 음의 자연수, 0, 양의 자연수 즉, 음의 정수. 0 양의 정수들의 모임 수

약수는 어떤 자연수를 나머지가 없게 나누어 떨어지게 할 수 있는 수.

소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수.

합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수만 쏙 뺀 얘들

1은 그냥 소수도 합성수도 아닌 수

2탄에서는 소인수분해가 어떤 놈인지 꼼꼼히 살펴 볼거에요.

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